이어 붙인 미분가능 함수

[출제의도] 미분을 이용하여 조건을 만족시키는 함수를 구할 수 있는가? 이차함수 $f ( x )$가 $x = - 1$에서 극대이므로 함수 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $x = - 1$에서 대칭이다. 그러므로 $f ( - 2 ) = f ( 0 ) = h ( 0 )$ 이때 $h ( 0 ) = k$라 하면 $f ( x )$는 $f ( x ) = ax ( x + 2 ) + k$$= ax ^{2} + 2 ax + k$($a < 0$) 로 놓을 수 있다. 한편, $g ( x )$가 삼차함수이므로 $h ( x )$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 $x = 0$에서의 곡선 $y = g ( x )$에 접하는 접선의 기울기는 음수이어야 한다. 또, 방정식 $h ( x ) = h ( 0 )$의 모든 실근이 합이 $1$이어야 하므로 다음 두 가지로 나눌 수 있다. (ⅰ) $g ( x )$의 최고차항의 계수가 양수인 경우

$g ( x ) = px ( x - 3 ) ( x - q ) + k$$= p \left\{ x ^{3} - ( q + 3 ) x ^{2} + 3 qx \right\} + k$ 한편, $g ( x )$의 이차항의 계수가 $0$이므로 $q = - 3$이고 $g ( x ) = p ( x ^{3} - 9 x ) + k$ 이때, $g' ( x ) = p ( 3 x ^{2} - 9 )$이므로 $g' ( x ) = 0$에서 $\displaystyle x = \sqrt{3}$ 또는 $\displaystyle x = - \sqrt{3}$ 그러므로 함수 $h ( x )$는 $\displaystyle x = \sqrt{3}$에서 극소이다. 한편, $x = 0$에서의 곡선 $y = f ( x )$의 접선의 기울기와 $x = 0$에서의 곡선 $y = g ( x )$의 접선의 기울기가 같아야 하고 $f' ( x ) = 2 ax + 2 a$, $g' ( x ) = p ( 3 x ^{2} - 9 )$이므로 $2 a = - 9 p$ $\cdots \cdots$㉠ 또, 구간 $\left[ - 2 , 3 \right]$에서 $h ( x )$의 최댓값은 $f ( - 1 )$, 최솟값은 $\displaystyle g ( \sqrt{3} )$이므로 ㉠을 이용하면 $\displaystyle f ( - 1 ) - g ( \sqrt{3} )$$\displaystyle = ( - a + k ) - \left( - 6 \sqrt{3} p + k \right)$ $\displaystyle = - a + 6 \sqrt{3} p$$\displaystyle = \frac{9}{2} p + 6 \sqrt{3} p$$\displaystyle = \frac{9 + 12 \sqrt{3}}{2} p$$\displaystyle = 3 + 4 \sqrt{3}$ 그러므로 $\displaystyle p = \frac{2}{3}$ 이고 $\displaystyle a = - \frac{9}{2} p = - 3$ 따라서 $f' ( x ) = - 6 x - 6$, $g' ( x ) = 2 x ^{2} - 6$ 이므로 $h' ( - 3 ) + h' ( 4 )$$= f' ( - 3 ) + g' ( 4 )$ $= 12 + 26 = 38$ (ⅱ) $g ( x )$의 최고차항의 계수가 음수인 경우

$g ( x ) = px ( x - \alpha ) ( x - \beta ) + k$($\alpha + \beta = 3$) 로 놓으면 $g ( x ) = p \left\{ x ^{3} - ( \alpha + \beta ) x ^{2} + \alpha \beta x \right\} + k$$= p \left\{ x ^{3} - 3 x ^{2} + \alpha \beta x \right\} + k$ 이므로 이차항의 계수가 0이 아니다. 그러므로 이러한 경우는 없다. 따라서(ⅰ)에서 구하는 값은 $38$이다.