미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

이어 붙인 도형 최소 원

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정사각형을 [도형 11]이라 하자. [도형 11]의 아랫변에 가로의 길이 44, 세로의 길이 22인 직사각형을 한 직선에 대해 대칭이 되도록 이어 붙여 만든 도형을 [도형 22] 라 하자. 이때 한 직선은 [도형 22]의 가장 긴 변의 중점을 지난다. 이와 같은 방법으로 33이상의 자연수 nn에 대하여 [도형 (n−1)\left( n - 1 \right)]의 아랫변에 가로의 길이 2n2 n, 세로의 길이 22인 직사각형을 이어 붙여 만든 도형을 [도형 nn]이라 하자.

⋯\cdots⋮\vdots
[도형 1][도형 2]⋯\cdots[도형 nn]

자연수 nn에 대하여 [도형 nn]을 포함하는 원들 중 가장 작은 원의 넓이를 ana _{n}이라 하자. lim⁡n→∞80anπn2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{80 a _{n}}{\pi n ^{2}}}의 값을 구하시오. [4점]

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125

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해설

[출제의도] 수열의 극한 추론하기

2n−x2 n - x

[도형 nn]을 포함하는 원들 중 가장 작은 원은 위의 그림과 같이 네 꼭짓점을 지나게 된다. 이 원의 반지름의 길이를 rnr _{n}이라 하고, 원의 중심에서 도형의 윗변까지의 길이를 xx라 하면 (rn)2=x2+1\left( r _{n} \right) ^{2} = x ^{2} + 1, (rn)2=(2n−x)2+n2\left( r _{n} \right) ^{2} = \left( 2 n - x \right) ^{2} + n ^{2} 이다. 따라서 x2+1x ^{2} + 1=(2n−x)2+n2= \left( 2 n - x \right) ^{2} + n ^{2}이므로 x=5n2−14n\displaystyle x = \frac{5 n ^{2} - 1}{4 n}이다. 따라서 (rn)2=(5n2−14n)2+1=25n4+6n2+116n2\displaystyle \left( r _{n} \right) ^{2} = \left( \frac{5 n ^{2} - 1}{4 n} \right) ^{2} + 1 = \frac{25 n ^{4} + 6 n ^{2} + 1}{16 n ^{2}}이다. 그러므로 an=π(rn)2=a _{n} = \pi \left( r _{n} \right) ^{2} =25n4+6n2+116n2π\displaystyle \frac{25 n ^{4} + 6 n ^{2} + 1}{16 n ^{2}} \pi이다. ∴lim⁡n→∞80anπn2=lim⁡n→∞125n4+30n2+5n4=125\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{80 a _{n}}{\pi n ^{2}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{125 n ^{4} + 30 n ^{2} + 5}{n ^{4}} = 125} [다른 풀이]

(1,2n)( 1 , 2 n ) (−1,2n)( - 1 , 2 n )

[도형 nn]을 포함하는 원들 중 가장 작은 원은 위의 그림처럼 네 점을 지나게 된다. 이 원의 방정식을 x2+(y−kn)2=rn2x ^{2} + \left( y - k _{n} \right) ^{2} = r _{n} ^{2}이라 하자. 이 원은 (n,0)\left( n , 0 \right)과 (1,2n)\left( 1 , 2 n \right)을 지나므로 {n2+(kn)2=(rn)21+(2n−kn)2=(rn)2\displaystyle {\begin{cases} n ^{2} + \left( k _{n} \right) ^{2} = \left( r _{n} \right) ^{2} & \\ 1 + \left( 2 n - k _{n} \right) ^{2} = \left( r _{n} \right) ^{2} & \end{cases}} 이다. 따라서 n2+(kn)2=1+(2n−kn)2n ^{2} + \left( k _{n} \right) ^{2} = 1 + \left( 2 n - k _{n} \right) ^{2} 이므로 kn=3n2+14n\displaystyle k _{n} = \frac{3 n ^{2} + 1}{4 n}이다. 따라서 (rn)2=n2+(3n2+14n)2\displaystyle \left( r _{n} \right) ^{2} = n ^{2} + \left( \frac{3 n ^{2} + 1}{4 n} \right) ^{2}=25n4+6n2+116n2\displaystyle = \frac{25 n ^{4} + 6 n ^{2} + 1}{16 n ^{2}}이다. 그러므로 an=π(rn)2=a _{n} = \pi \left( r _{n} \right) ^{2} =25n4+6n2+116n2π\displaystyle \frac{25 n ^{4} + 6 n ^{2} + 1}{16 n ^{2}} \pi이다. ∴lim⁡n→∞80anπn2=lim⁡n→∞125n4+30n2+5n4=125\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{80 a _{n}}{\pi n ^{2}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{125 n ^{4} + 30 n ^{2} + 5}{n ^{4}} = 125}

태그

#수열의 극한#원#도형

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