확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이동한 점과 직선의 거리 기댓값

문제

좌표평면의 원점에 점 $\mathrm{P}$ 가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $2$ 이하이면 점 $\mathrm{P}$ 를 $x$ 축의 양의 방향으로 $3$ 만큼, $3$ 이상이면 점 $\mathrm{P}$ 를 $y$ 축의 양의 방향으로 $1$ 만큼 이동시킨다.

이 시행을 $15$ 번 반복하여 이동된 점 $\mathrm{P}$ 와 직선 $3 x + 4 y = 0$ 사이의 거리를 확률변수 $X$ 라 하자. ${\mathrm{E}} ( X )$ 의 값은? [4점] ① $13$ ② $15$ ③ $17$ ④ $19$ ⑤ $21$

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③

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해설

주사위를 $15$ 번 던져 $2$ 이하의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 $Y$ 라 하면 $Y$ 는 이항분포 $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( 15 , \frac{1}{3} \right)$ 를 따르므로 ${\mathrm{E}} ( Y ) = 5$ 이다. $2$ 이하의 눈이 $Y$ 번 나왔을 때 $\mathrm{P} {}$ 의 좌표는 $( 3 Y , 15 - Y )$ $\mathrm{P}$ 와 $3 x + 4 y = 0$ 의 거리는 $\displaystyle X = {\frac{9 Y + 60 - 4 Y}{5} = Y + 12}$ 이다. 따라서 ${\mathrm{E}} ( X )$ $= 17$

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