이등변삼각형과 무게중심

[출제의도] 두 점 사이의 거리와 삼각형의 무게중심을 이해하여 점의 좌표를 구한다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$$\displaystyle = \sqrt{\left\{ a - ( - 2 ) \right\} ^{2} + ( b - 0 ) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{a ^{2} + b ^{2} + 4 a + 4}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$\displaystyle = \sqrt{( a - 0 ) ^{2} + \left( b - 4 \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{a ^{2} + b ^{2} - 8 b + 16}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathrm{\overline{BC}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2}$이므로 $a ^{2} + b ^{2} + 4 a + 4 = a ^{2} + b ^{2} - 8 b + 16$ $4 a + 8 b = 12$ $a + 2 b = 3$ $\cdots \cdots$ ㉠ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{- 2 + 0 + a}{3} , \frac{0 + 4 + b}{3} \right)$ 즉, $\displaystyle \left( \frac{- 2 + a}{3} , \frac{4 + b}{3} \right)$이고 이 점이 $y$축 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{- 2 + a}{3} = 0$, $a = 2$ ㉠에서 $2 + 2 b = 3$, $\displaystyle b = \frac{1}{2}$ 따라서 $a + b$$\displaystyle = 2 + \frac{1}{2}$$\displaystyle = \frac{5}{2}$ [다른 풀이] 삼각형 $\mathrm{ABC}$가 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathrm{\overline{BC}}$인 이등변삼각형이므로 점 $\mathrm{C}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위에 있다. 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선의 기울기를 $m$이라 하면 직선 $\mathrm{AB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{4 - 0}{0 - ( - 2 )}$$= 2$이므로 $2 m = \mathit{-} 1$에서 $\displaystyle m = \mathit{-} \frac{1}{2}$ 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 점 $\mathrm{M}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{- 2 + 0}{2} , \frac{0 + 4}{2} \right)$, 즉 $( - 1 , 2 )$ 따라서 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선의 방정식은 $y$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2} \left\{ x - ( - 1 ) \right\} + 2$ $y$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 무게중심을 $\mathrm{G}$라 하면 점 $\mathrm{G}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위에 있다. 또한 점 $\mathrm{G}$가 $y$축 위에 있으므로 점 $\mathrm{G}$는 직선 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ 위에 있는 점 중에서 $y$축 위에 있는 점이다. 즉, $\displaystyle \mathrm{G} \left( 0 , \frac{3}{2} \right)$

이때 $\displaystyle \mathrm{\overline{MC}} : \mathrm{\overline{GC}} = 3 : 2$이므로 점 $\mathrm{C}$는 선분 $\mathrm{MG}$를 $3 : 2$로 외분하는 점이다. 따라서 $a$$\displaystyle = \frac{3 \times 0 - 2 \times ( - 1 )}{3 - 2}$$= 2$ $b$$\displaystyle = \frac{3 \times \frac{3}{2} - 2 \times 2}{3 - 2}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$ 이므로 $a + b$$\displaystyle = 2 + \frac{1}{2}$$\displaystyle = \frac{5}{2}$