미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이등변삼각형 선분 급수

문제

AB1‾=AC1‾=10\displaystyle \overline{\mathrm{AB} _{1}} = \overline{\mathrm{AC} _{1}} = 10인 이등변삼각형 AB1C1\mathrm{AB} _{1} C _{1}이 있다. 오른쪽 그림과 같이 점 C1\mathrm{C} _{1} 에서 변 AB1\mathrm{AB} _{1} 에 내린 수선의 발을 B2\mathrm{B} _{2}, 점 B2\mathrm{B} _{2}에서 변 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}과 평행한 선분을 그어 변 AC1\mathrm{AC} _{1}과 만나는 점을 C2\mathrm{C} _{2}라 한다. 이와 같은 방법으로 변 AB1\mathrm{AB} _{1}과 변 AC1\mathrm{AC} _{1}위에 점을 잡아서 각 점을 B3,C3,B4,C4,⋯\mathrm{B} _{3} , C _{3} , B _{4} , C _{4} , \cdots라 하자. B1B2‾\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} B _{2}}의 길이가 B1C1‾\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}의 길이의 14\displaystyle \frac{1}{4}일 때, ∑k=1∞BkCk‾\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{\infty} \overline{\mathrm{B} _{\mathit{k}} C _{\mathit{k}}}의 값은? [3점]

①4040②3535③3030④2525⑤2020

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①

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해설

AB1‾=AC1‾=10\displaystyle \overline{\mathrm{A} \mathrm{B} _{1}} = \overline{\mathrm{A} \mathrm{C} _{1}} = 10이고, B1B2‾=14B1C1‾\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{1} \mathrm{B} _{2}} = \frac{1}{4} \overline{\mathrm{B} _{1} \mathrm{C} _{1}} 이므로 삼각형의 닮음비에서 BkBk+1‾=14BkCk‾∴BkCk‾=4BkBk+1‾\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{k} \mathrm{B} _{k+1}} = \frac{1}{4} \overline{\mathrm{B} _{k} \mathrm{C} _{k}} \therefore \overline{\mathrm{B} _{k} \mathrm{C} _{k}} = 4 \overline{\mathrm{B} _{k} \mathrm{B} _{k+1}} ∴∑k=1∞BkCk‾=4∑k=1∞BkBk+1‾=4AB1‾=40\displaystyle \begin{aligned} \therefore \sum\limits _{k = 1} ^{\infty} \overline{\mathrm{B} _{k} \mathrm{C} _{k}} & = 4 \sum\limits _{k = 1} ^{\infty} \overline{\mathrm{B} _{k} \mathrm{B} _{k + 1}} = 4 \overline{\mathrm{AB} _{1}} = 40 \end{aligned}

태그

#등비급수#닮음

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