이등변삼각형 넓이의 극한

[출제의도] 도형의 넓이를 삼각함수로 나타내어 삼각함수의 극한값을 계산할 수 있는가? $\displaystyle \overline{AC} = x$라 하면 $\displaystyle \overline{AC} = \overline{BC} = \overline{AD} = \overline{AP} = x$ 이다. 이등변삼각형 $CAB$에서 $\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \frac{2}{x} \therefore x = \frac{2}{\sin \frac{\theta}{2}}$ 따라서 $\triangle BDP$의 넓이 $S ( \theta )$는 $\displaystyle S ( \theta ) = \triangle ADP - \triangle ABP = \frac{1}{2} x ^{2} \sin 2 \theta - \frac{1}{2} \times 4 \times x \sin 2 \theta$ $\displaystyle = \frac{2 \sin 2 \theta}{\sin ^{2} \frac{\theta}{2}} - \frac{4 \sin 2 \theta}{\sin \frac{\theta}{2}}$ $\displaystyle \therefore \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {( \theta \times S ( \theta ) ) = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\left( \frac{2 \sin 2 \theta}{\sin ^{2} \frac{\theta}{2}} - \frac{4 \sin 2 \theta}{\sin \frac{\theta}{2}} \right)}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\left( 2 \times \frac{\theta}{\sin \frac{\theta}{2}} \times \frac{\sin 2 \theta}{\sin \frac{\theta}{2}} \right) - \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\left( 4 \theta \times \frac{\sin 2 \theta}{\sin \frac{\theta}{2}} \right)}}$ $= 2 \times 2 \times 4 - 4 \times 0 \times 4 = 16$