이등분선의 발이 정해진 삼각형의 최대 넓이

실마리: $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}}$가 정해져 있으므로 $\angle \mathrm{A}$의 외각의 이등분선이 직선 $\mathrm{BC}$와 만나는 점도 정해지고, 내각과 외각의 이등분선은 서로 수직이다. 각의 이등분선 정리에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}} = 4 : 6 = 2 : 3$ $\angle \mathrm{A}$의 외각의 이등분선이 직선 $\mathrm{BC}$와 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하면 외각의 이등분선 정리에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BE}} : \overline{\mathrm{CE}} = \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = 2 : 3$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} < \overline{\mathrm{AC}}$이므로 점 $\mathrm{E}$는 점 $\mathrm{B}$ 쪽의 연장선 위에 있고 $\displaystyle \overline{\mathrm{CE}} = \overline{\mathrm{BE}} + 10$ $\displaystyle \overline{\mathrm{BE}} : ( \overline{\mathrm{BE}} + 10 ) = 2 : 3$에서 $\displaystyle 3 \overline{\mathrm{BE}} = 2 \overline{\mathrm{BE}} + 20$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BE}} = \mathit{20}$ 내각의 이등분선과 외각의 이등분선은 서로 수직이므로 $\angle \mathrm{DAE} = 90 ^{\circ}$ 따라서 점 $\mathrm{A}$는 선분 $\mathrm{DE}$를 지름으로 하는 원 위에 있다. $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} = \overline{\mathrm{BE}} + \overline{\mathrm{BD}} = 20 + 4 = 24$이므로 이 원의 중심 $\mathrm{O}$는 직선 $\mathrm{BC}$ 위에 있고 반지름의 길이는 $12$이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 밑변 $\mathrm{BC}$의 길이는 $10$으로 일정하고, 높이는 점 $\mathrm{A}$에서 직선 $\mathrm{BC}$까지의 거리이므로 원의 반지름의 길이 $12$를 넘을 수 없다. 높이가 $12$가 되는 것은 점 $\mathrm{A}$가 점 $\mathrm{O}$에서 직선 $\mathrm{BC}$에 수직으로 반지름만큼 떨어진 점일 때이고, 이때 실제로 삼각형이 만들어진다. (검산: $\mathrm{B} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{C} ( 10 , 0 )$, $\mathrm{A} ( x , y )$로 두면 $\displaystyle 3 \overline{\mathrm{AB}} = 2 \overline{\mathrm{AC}}$에서 $9 ( x ^{2} + y ^{2} ) = 4 ( x - 10 ) ^{2} + 4 y ^{2}$, 정리하면 $( x + 8 ) ^{2} + y ^{2} = 144$로 중심 $( - 8 , 0 )$, 반지름 $12$인 원이다.) 따라서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$