이차식으로 나눈 나머지

[출제의도] 나머지 정리를 이용하여 나머지를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 다항식 $f ( x )$를 $( x - 2 ) ( x - 3 )$으로 나눌 때 몫을 $Q ( x )$, 나머지를 $ax + b$라 하면 $f ( x ) = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Q ( x ) + ax + b$ 이 식은 $x$에 대한 항등식이므로 $f ( 2 ) = 2 a + b$, $f ( 3 ) = 3 a + b$ 나머지정리에 의하여 $f ( 2 ) = 1$이므로 $2 a + b = 1$ …… ㉠ $f ( 3 ) = 3$이므로 $3 a + b = 3$ …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $a = 2$, $b = - 3$ 따라서 $R ( x ) = 2 x - 3$이므로 $R ( 20 ) = 37$