공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이차식으로 나눈 나머지

문제

다항식 f(x)f ( x )를 두 일차식 x−ax - a, x+ax + a로 나눈 나머지가 각각 R1R _{1}, R2R _{2}일 때, f(x)f ( x )를 x2−a2x ^{2} - a ^{2}으로 나눈 나머지는? (단, aa는 00이 아닌 상수이다.) [3점] ①R1−R22ax+R1+R22\displaystyle \frac{R _{1} - R _{2}}{2 a} x + \frac{R _{1} + R _{2}}{2}②R1−R22ax+R1−R22\displaystyle \frac{R _{1} - R _{2}}{2 a} x + \frac{R _{1} - R _{2}}{2}③R1+R22ax+R1+R22\displaystyle \frac{R _{1} + R _{2}}{2 a} x + \frac{R _{1} + R _{2}}{2}④R1+R22ax+R1−R22\displaystyle \frac{R _{1} + R _{2}}{2 a} x + \frac{R _{1} - R _{2}}{2}⑤R1R22ax−R1+R22\displaystyle \frac{R _{1} R _{2}}{2 a} x - \frac{R _{1} + R _{2}}{2}

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①

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해설

[출제의도] 나머지정리를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 나머지정리에 의하여 f(a)=R1f ( a ) = R _{1}, f(−a)=R2f ( - a ) = R _{2} f(x)f ( x )를 x2−a2x ^{2} - a ^{2}으로 나눌 때의 몫을 Q(x)Q ( x ), 나머지를 px+qpx + q라 하면 f(x)=(x2−a2)Q(x)+px+qf ( x ) = ( x ^{2} - a ^{2} ) Q ( x ) + px + q f(a)=R1f ( a ) = R _{1}에서 pa+q=R1pa + q = R _{1} ……㉠ f(−a)=R2f ( - a ) = R _{2}에서 −pa+q=R2- pa + q = R _{2} ……㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 p=R1−R22a\displaystyle p = \frac{R _{1} - R _{2}}{2 a}, q=R1+R22\displaystyle q = \frac{R _{1} + R _{2}}{2} 따라서 구하는 나머지는 R1−R22ax+R1+R22\displaystyle \frac{R _{1} - R _{2}}{2 a} x + \frac{R _{1} + R _{2}}{2}이다.

태그

#나머지정리

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