이차식 절편을 가진 직선과 삼각형 조건

먼저 두 직선 $y = 2 x + 6$, $y = - x - 3$의 교점을 구하면 $2 x + 6 = - x - 3$에서 $x = - 3$, $y = 0$ 즉 교점은 $\left( - 3 , 0 \right)$ (ⅰ) 세 직선이 한 점에서 만날 때 직선 $y = ax + a ^{2} + 2$가 점 $\left( - 3 , 0 \right)$을 지나므로 $- 3 a + a ^{2} + 2 = 0$, $a ^{2} - 3 a + 2 = 0$ $\left( a - 1 \right) \left( a - 2 \right) = 0$이므로 $a = 1$ 또는 $a = 2$ $a = 1$이면 직선은 $y = x + 3$으로 세 직선이 점 $\left( - 3 , 0 \right)$에서 만난다. $a = 2$이면 직선은 $y = 2 x + 6$이 되어 첫 번째 직선과 일치하므로 서로 다른 직선이 $2$개뿐이다. (ⅱ) 두 직선이 평행할 때 $a = 2$이면 위와 같이 일치하는 경우이고 $a = - 1$이면 직선 $y = - x + 3$은 직선 $y = - x - 3$과 평행하다. 따라서 삼각형을 이루지 않도록 하는 $a$의 값은 $1$, $2$, $- 1$의 $3$개이므로 $S = 1 + 2 + \left( - 1 \right) = 2$, $n = 3$ $S + n = 5$