이차함수와 평행선 보기

ㄱ. 최고차항의 계수가 $1$이고 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표가 $1$, $a$이므로 $f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - a )$ 따라서 $f ( 2 ) = 2 - a$ (참) ㄴ. 이차함수 $y = f ( x )$의 축의 방정식이 $\displaystyle x = \frac{a + 1}{2}$이므로 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{a + 1}{2}$$\cdots \text{㉠}$ 이차함수 $y = f ( x )$와 직선 $\mathrm{PB}$의 방정식을 연립하여 정리하면 $( x - 1 ) ( x - a ) = m ( x - a )$ $\left( x - a \right) \left( x - 1 - m \right) = 0$에서 $x = a$ 또는 $x = m + 1$이므로 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $m + 1$$\cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에 의해 $a = 2 m + 1$$\cdots \text{㉢}$ 이차함수 $y = f ( x )$와 직선 $\mathrm{AQ}$의 방정식을 연립하여 정리하면 $( x - 1 ) ( x - a ) = m ( x - 1 )$ $\left( x - 1 \right) \left( x - m - a \right) = 0$에서 $x = 1$ 또는 $x = m + a$이므로 두 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$의 $x$좌표는 $m + a$ $\text{㉢}$에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AR}}} = \left( a + m \right) - 1 = 3 m$ (참) ㄷ. $\displaystyle {\overline{\mathrm{BR}}} = m$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = m ( a + m - 1 ) = 3 m ^{2}$이고, 삼각형 $\mathrm{BRQ}$의 넓이가 $\displaystyle \frac{81}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times m \times 3 m ^{2} = \frac{81}{2}$ 즉, $m = 3$, $a = 7$ 따라서 $a + m = 10$ (참)