이차함수와 무리함수 교점

[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 함수 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{5} x ^{2} + \frac{1}{5} k ( x \geq 0 )$의 역함수는 $\displaystyle g ( x ) = \sqrt{5 x - k}$이고 두 함수 $y = f ( x )$, $y = g ( x )$의 그래프의 교점은 직선 $y = x$ 위에 있다. $\displaystyle \frac{1}{5} x ^{2} + \frac{1}{5} k = x$ $x ^{2} - 5 x + k = 0$은 음이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 $k \geq 0$, $D = \left( - 5 \right) ^{2} - 4 k > 0$ $\displaystyle 0 \leq k < \frac{25}{4}$이므로 정수 $k$의 개수는 $7$