이차함수와 직선 교점

직선 $y = x$와 이차함수 $f \left( x \right) = x ^{2} - 2 \left( m + 1 \right) x + m ^{2} - 4$의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나므로 $x ^{2} - 2 \left( m + 1 \right) x + m ^{2} - 4 = x$ $x ^{2} - \left( 2 m + 3 \right) x + m ^{2} - 4 = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ ㉠이 서로 다른 두 실근을 가지려면 ㉠의 판별식 $D > 0$이어야 하므로 $D = \left( 2 m + 3 \right) ^{2} - 4 \left( m ^{2} - 4 \right) = 12 m + 25 > 0$, $\displaystyle m > - \frac{25}{12}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\left( a , f \left( a \right) \right)$, $\left( b , f \left( b \right) \right)$는 직선 $y = x$ 위의 점이므로 $f \left( a \right) = a$, $f \left( b \right) = b$ $a$, $b$는 이차방정식 ㉠의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $f \left( a \right) + f \left( b \right) = a + b = 2 m + 3 < 16$ $\displaystyle m < \frac{13}{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에 의하여 $\displaystyle - \frac{25}{12} < m < \frac{13}{2}$이므로 모든 정수 $m$은 $- 2$, $- 1$, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ 따라서 모든 정수 $m$의 개수는 $9$