이차함수와 직선 차의 최댓값

[출제의도] 이차함수와 직선의 위치 관계를 이용하여 이차함수의 최댓값을 구한다. 이차방정식 $h ( x ) = 0$의 두 근이 $2$와 $6$이므로 인수정리에 의하여 $h ( x ) = k ( x - 2 ) ( x - 6 )$이다. 이때 $g ( x )$는 일차함수이고 $f ( x )$는 이차항의 계수가 $- 1$인 이차함수이므로 함수 $h ( x )$는 이차함수이고 이차항의 계수는 $- 1$이다. $h \left( x \right)$$= \mathit{-} ( x - 2 ) ( x - 6 )$ $= \mathit{-} x ^{2} + 8 x - 12$ $= \mathit{-} ( x - 4 ) ^{2} + 4$ 이므로 함수 $h ( x )$는 $x = 4$에서 최댓값 $4$를 갖는다. $p = 4$, $q = 4$이므로 $p + q = 8$