대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이차함수 양수 조건 영역

문제

이차함수 $\displaystyle f ( x ) = x ^{2} \log _{a} b + x \log _{a} b + \frac{1}{2}$ 이 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $f ( x ) > 0$ 를 만족할 때, 점 $( a , b )$ 가 존재하는 영역을 어두운 부분으로 바르게 나타낸 것은? (단, $a$ , $b$ 는 $1$ 이 아닌 양수이고 경계는 포함하지 않는다.) [4점]

①	$b = a ^{2}$ $b$ $1$ $1$ $a$ $\mathrm{O}$	②	$b = a ^{2}$ $b$ $1$ $1$ $a$ $\mathrm{O}$
③	$b = a ^{2}$ $b$ $1$ $1$ $a$ $\mathrm{O}$	④	$b = a ^{2}$ $b$ $1$ $1$ $a$ $\mathrm{O}$
⑤	$b = a ^{2}$ $b$ $1$ $1$ $a$ $\mathrm{O}$

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②

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해설

[출제의도] 로그부등식 문제해결하기 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $f ( x ) > 0$ 가 성립하려면 $\log _{a} b > 0$ , $D = \left( \log _{a} b \right) ^{2} - 2 \log _{a} b < 0$ $\therefore$ $0 < \log _{a} b < 2$ ⅰ) $0 < a < 1$ 인 경우 $\therefore$ $a ^{2} < b < 1$ ⅱ) $a > 1$ 인 경우 $\therefore$ $1 < b < a ^{2}$ 이므로 구하고자 하는 영역은

$b = a ^{2}$

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