이차함수 실근 개수

$x$에 대한 방정식 $\displaystyle f \left( x \right) \times \left( f \left( x \right) + \frac{1}{3} f \left( t \right) \right) = 0$의 실근은 곡선 $y = f \left( x \right)$와 $x$축, 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{3} f \left( t \right)$의 교점의 $x$좌표와 같다. (ⅰ) 곡선 $y = f \left( x \right)$와 $x$축과의 교점의 개수가 $0$인 경우 함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수는 $1$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) > 0$이다. 그러므로 모든 실수 $t$에 대하여 $\displaystyle - \frac{1}{3} f \left( t \right) < 0$이고 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{3} f \left( t \right)$의 교점은 존재하지 않는다. 따라서 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) 곡선 $y = f \left( x \right)$와 $x$축과의 교점의 개수가 $1$인 경우 함수 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수는 $1$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left( x \right) \geq 0$이다. 그러므로 모든 실수 $t$에 대하여 $\displaystyle - \frac{1}{3} f \left( t \right) \leq 0$이고 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{3} f \left( t \right)$의 교점의 개수는 $0$ 또는 $1$이다. 따라서 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅲ) 곡선 $y = f \left( x \right)$와 $x$축과의 교점의 개수가 $2$인 경우 그림과 같이 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{3} f \left( t \right)$는 $x$축 위에 있지 않은 한 점에서만 만나야 하므로 직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{3} f \left( t \right)$는 곡선 $y = f \left( x \right)$와 접해야 한다.

곡선 $y = f \left( x \right)$의 꼭짓점의 $y$좌표를 $q$라 하면 조건을 만족시키는 실수 $t$의 값이 $- 1$, $7$이므로 $\displaystyle q = - \frac{1}{3} f \left( - 1 \right)$, $\displaystyle q = - \frac{1}{3} f \left( 7 \right)$ $f \left( - 1 \right) + 3 q = f \left( 7 \right) + 3 q = 0$이므로 이차다항식 $f \left( x \right) + 3 q$는 $x + 1$과 $x - 7$을 인수로 갖는다. $f \left( x \right) + 3 q = \left( x + 1 \right) \left( x - 7 \right)$ $f \left( x \right) = \left( x - 3 \right) ^{2} - 16 - 3 q$ 이때, $q$는 곡선 $y = f \left( x \right)$의 꼭짓점의 $y$좌표이므로 $q = - 16 - 3 q$, $q = - 4$ 따라서 $f \left( x \right) = \left( x - 3 \right) ^{2} - 4$ (ⅰ)$\sim$ (ⅲ)에서 $f \left( 10 \right) = 45$