이차함수 조건 보기

[출제의도] 이차함수의 그래프 추론하기 조건 (나)에서 이차함수 $f ( x )$는 ‘모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) \geq f ( 3 )$’이므로 $x = 3$에서 최솟값을 가지고, $x = 3$이 대칭축이며 아래로 볼록이다. ㄱ. $x = 3$이 대칭축이고 $f ( 1 ) = 0$이므로 $f ( 5 ) = 0$이다. (참) ㄴ. 그림과 같이 이차함수 $f ( x )$가 $x = 3$에 대칭이고 아래로 볼록이므로 $\displaystyle f ( 2 ) < f \left( \frac{1}{2} \right) < f ( 6 )$이다. (참)

ㄷ. $f ( x ) = 0$의 두 근이 $1 , 5$이므로 $f ( x ) = a \left( x - 1 ) ( x - 5 \right)$$= a \left( x ^{2} - 6 x + 5 \right)$$= ax ^{2} - 6 ax + 5 a$ 이다. $f ( 0 ) = k$이므로 $k = 5 a$ 이다. $f ( x ) = kx$에서 $ax ^{2} - 6 ax + 5 a = 5 ax$ 이고 $a > 0$이므로 $x ^{2} - 11 x + 5 = 0$ 이다. 근과 계수의 관계에 의해 두 실근의 합은 $11$이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.