이차함수 직각이등변

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다. 삼각형 ${\mathrm{ADB}}$가 ${\angle \mathrm{ADB} = 90 ^\circ}$인 이등변삼각형이므로 빗변은 선분 ${\mathrm{AB}}$이고, $\displaystyle {\mathrm{\overline{AD}} = \mathrm{\overline{BD}}}$이다. 점 ${\mathrm{D}}$에서 선분 ${\mathrm{AB}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 직선 ${\mathrm{DH}}$는 선분 ${\mathrm{AB}}$의 수직이등분선이다. 한편, 이차함수 ${y = f ( x )}$의 그래프 위의 두 점 ${\mathrm{A}}$와 ${\mathrm{B}}$의 ${y}$좌표는 같으므로 선분 ${\mathrm{AB}}$의 수직이등분선은 이차함수 ${y = f ( x )}$의 그래프의 축이다. 그러므로 점 ${\mathrm{D}}$는 이차함수 ${y = f ( x )}$의 그래프와 축의 교점이므로 꼭짓점이다.

그림과 같이 $\displaystyle {\overline{\mathrm{B}} C = \mathit{k}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A}} C = 3 \times \overline{\mathrm{B}} C}$이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AC}} = 3 \mathit{k}}$ 삼각형 ${\mathrm{DHA}}$는 ${\angle \mathrm{DHA} = 90 ^\circ}$인 이등변삼각형이므로 $\displaystyle {\mathrm{\overline{DH}}}$$\displaystyle {\mathrm{=} \overline{AH}}$$\displaystyle {\mathrm{=} \frac{1}{2} \times \overline{AB}}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times 4 k}$${= 2 k}$ ${\triangle \mathrm{A} DB}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AB}} \times \overline{DH}}$$\displaystyle {= \frac{1}{2} \times 4 k \times 2 k}$${= 4 k ^{2}}$${= 16}$ ${k ^{2} = 4}$, ${k = 2}$(${k > 0}$) 그러므로 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 ${( - 4 , 1 )}$, 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표는 ${( 4 , 1 )}$, 점 ${\mathrm{D}}$의 좌표는 ${( 0 , - 3 )}$, 이차함수 ${y = f ( x )}$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 ${( 0 , - 3 )}$이므로 ${f ( x )}$${= px ^{2} - 3}$(${p}$는 상수) ${y = f ( x )}$의 그래프가 점 ${( 4 , 1 )}$을 지나므로 ${1 = 16 p - 3}$, $\displaystyle {p = {\frac{1}{4}}}$ $\displaystyle {f ( x ) = \frac{1}{4} x ^{2} - 3}$ 따라서 ${f ( 8 )}$$\displaystyle {= \frac{1}{4} \times 8 ^{2} - 3}$${= 13}$