이차함수 계수 보기

[출제의도] 제한된 범위에서 정의된 이차함수의 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. $f ( - 1 ) = a - b$, $f ( 0 ) = 0$, $f ( 1 ) = a + b$ 조건 (가)에서 $f ( - 1 ) + f ( 1 ) = ( a - b ) + ( a + b ) = 2 a < 0$이므로 $a < 0$ ……㉠ 조건 (나)에서 $- 2 < a - b < 0 < a + b < 2$ ……㉡ ㄱ. ㉡에서 $a - b < 0$이고 $a + b > 0$이므로 $( a + b ) ( a - b ) < 0$ ∴ $a ^{2} < b ^{2}$ (참) ㄴ. 그림과 같이 조건 (가)를 만족시키는 이차함수 $y = f ( x )$의 그래프는 위로 볼록한 포물선이므로 조건 (나)를 만족시키기 위해서는 $y = f ( x )$의 그래프의 대칭축 $\displaystyle x = - \frac{b}{2 a}$가 직선 $x = 1$보다 왼쪽에 있지 않다.

∴ $\displaystyle - \frac{b}{2 a} \geq 1$ 그런데 ㉠에서 $a < 0$이므로 양변에 $- 2 a$를 곱하면 $b \geq - 2 a$ ∴ $2 a + b \geq 0$(참) ㄷ. 이차방정식 $f ( x ) = 0$의 두 실근의 합은 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle - \frac{b}{a}$이다. 그런데 $\displaystyle - \frac{b}{2 a} \geq 1$에서 $\displaystyle - \frac{b}{a} \geq 2$이므로 이차방정식 $f ( x ) = 0$의 두 실근의 합은 $2$보다 크거나 같다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.