이차함수 최댓값 항등식

함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 대칭축은 직선 $x = 2$이고 모든 실수 $k$에 대하여 $- k ^{2} \leq 2 \leq 3 + k ^{2}$이다. (ⅰ) $a < 0$인 경우 모든 실수 $k$에 대하여 $f \left( - k ^{2} \right) < f \left( 3 + k ^{2} \right) < f \left( 2 \right)$이므로 $- k ^{2} \leq x \leq 3 + k ^{2}$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $f \left( 2 \right) = b$로 일정하여 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a > 0$인 경우 모든 실수 $k$에 대하여 $f \left( 2 \right) < f \left( 3 + k ^{2} \right) < f \left( - k ^{2} \right)$이므로 $- k ^{2} \leq x \leq 3 + k ^{2}$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값은 $f \left( - k ^{2} \right)$이다. $f \left( - k ^{2} \right)$$= a \left( - k ^{2} - 2 \right) ^{2} + b = a \left( k ^{2} + 2 \right) ^{2} + b$ $= ak ^{4} + 4 ak ^{2} + 4 a + b$ 이고, 모든 실수 $k$에 대하여 $ak ^{4} + 4 ak ^{2} + 4 a + b = 3 k ^{4} + 12 k ^{2}$이 성립하므로 $a = 3$, $4 a + b = 0$에서 $b = - 12$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $a ^{2} + b ^{2} = 9 + 144 = 153$