공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이차함수 최대최소 합

문제

양수 aa에 대하여 0≤x≤a0 \leq x \leq a에서 이차함수 f(x)=−2x2+16x−7f \left( x \right) = - 2 x ^{2} + 16 x - 7의 최댓값과 최솟값의 합이 00이 되도록 하는 모든 aa의 값의 합은? [4점] ①172\displaystyle \frac{17}{2}②99③192\displaystyle \frac{19}{2}④1010⑤212\displaystyle \frac{21}{2}

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④

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해설

f(x)=−2x2+16x−7=−2(x−4)2+25f \left( x \right) = - 2 x ^{2} + 16 x - 7 = - 2 \left( x - 4 \right) ^{2} + 25 함수 y=f(x)y = f \left( x \right)의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) 0<a≤40 < a \leq 4일 때 0≤x≤a0 \leq x \leq a에서 함수 f(x)f \left( x \right)의 최솟값은 f(0)=−7f \left( 0 \right) = - 7이므로 함수 f(x)f \left( x \right)의 최댓값과 최솟값의 합이 00이려면 f(a)=7f \left( a \right) = 7이어야 한다. f(a)=−2a2+16a−7=7f \left( a \right) = - 2 a ^{2} + 16 a - 7 = 7에서 2(a−1)(a−7)=02 \left( a - 1 \right) \left( a - 7 \right) = 0, a=1a = 1 (ⅱ) a>4a > 4일 때 0≤x≤a0 \leq x \leq a에서 함수 f(x)f \left( x \right)의 최댓값은 f(4)=25f \left( 4 \right) = 25이므로 함수 f(x)f \left( x \right)의 최댓값과 최솟값의 합이 00이려면 f(a)=−25f \left( a \right) = - 25이어야 한다. f(a)=−2a2+16a−7=−25f \left( a \right) = - 2 a ^{2} + 16 a - 7 = - 25에서 2(a+1)(a−9)=02 \left( a + 1 \right) \left( a - 9 \right) = 0, a=9a = 9 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 양수 aa의 값의 합은 1+9=101 + 9 = 10

태그

#이차함수#최대최소

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