이차함수 최대 최소 조건

조건 (가)에서 $f \left( p \right) = f \left( q \right)$ ($p$, $q$는 서로 다른 정수) 이므로 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 직선 $\displaystyle x = \frac{p + q}{2}$에 대하여 대칭이다. $\displaystyle n + 3 \leq \frac{p + q}{2}$이거나 $\displaystyle \frac{p + q}{2} \leq n$이면 $n \leq x \leq n + 3$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값과 최솟값의 곱이 $f \left( n \right) \times f \left( n + 3 \right)$의 값과 같아지므로 $n \leq x \leq n + 3$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값과 최솟값의 곱이 $f \left( n \right) \times f \left( n + 3 \right)$의 값과 같지 않으려면 $\displaystyle n < \frac{p + q}{2} < n + 3$이어야 한다. 조건 (나)에 의하여 이 부등식이 성립하도록 하는 모든 자연수 $n$의 값은 $4$, $5$, $6$이므로 $\displaystyle 6 < \frac{p + q}{2} < 7$ $12 < p + q < 14$에서 $p + q = 13$이므로 이차함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 축의 방정식은 $\displaystyle x = \frac{13}{2}$이다. 또한 이차함수 $f \left( x \right)$의 최솟값이 $\mathrm{1}$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \left( x - \frac{13}{2} \right) ^{2} + 1$ 따라서 $\displaystyle f \left( 8 \right) = \left( 8 - \frac{13}{2} \right) ^{2} + 1 = \frac{13}{4}$