이차함수 보기

[출제의도] 이차함수의 성질 추론하기 ㄱ. $a = b$이면 $f ( x ) = ( x - a ) ^{2}$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x ) \geq 0$이다. (참) ㄴ. $f ( x ) = x ^{2} - ( a + b ) x + ab$이므로 $\displaystyle f ( x ) = x ^{2} - ( a + b ) x + \left( \frac{a + b}{2} \right) ^{2} + ab - \left( \frac{a + b}{2} \right) ^{2}$ $\displaystyle = \left( x - {\frac{a + b}{2} ) ^{2} + ab - \left( \frac{a + b}{2} \right) ^{2}} \right.$ $\displaystyle = \left( x - {\frac{a + b}{2} ) ^{2} - \left( \frac{a - b}{2} \right) ^{2}} \right.$이다. 따라서 $f ( x )$는 $\displaystyle x = \frac{a + b}{2}$일 때 최솟값은 $\displaystyle f \left( \frac{a + b}{2} \right) = - \left( \frac{a - b}{2} \right) ^{2}$이다. (참) ㄷ. 이차함수 $f ( x )$는 아래로 볼록하고, $\displaystyle f \left( \frac{a + b}{2} \right)$를 최솟값으로 가지고, $0 < a < b$에서 $\displaystyle \frac{a - b}{2} < \frac{b - a}{2} < \frac{a + b}{2}$이므로 $\displaystyle f \left( \frac{a - b}{2} \right) > f \left( \frac{b - a}{2} \right) > f \left( \frac{a + b}{2} \right)$이다.

$\displaystyle \frac{a + b}{2}$ $\displaystyle \frac{b - a}{2}$ $\displaystyle \frac{a - b}{2}$ $y = f ( x )$

따라서 $\displaystyle f \left( \frac{b - a}{2} \right) < f \left( \frac{a - b}{2} \right)$이다. (참) [다른풀이] ㄷ. $\displaystyle f \left( \frac{b - a}{2} \right) = \left( \frac{b - a}{2} - a \right) \left( \frac{b - a}{2} - b \right)$ $\displaystyle = \left( \frac{b - 3 a}{2} \right) \left( \frac{- a - b}{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{( 3 a - b ) ( a + b )}{4}$이고 $\displaystyle f \left( \frac{a - b}{2} \right) = \left( \frac{a - b}{2} - a \right) \left( \frac{a - b}{2} - b \right)$$\displaystyle = \left( \frac{- a - b}{2} \right) \left( \frac{a - 3 b}{2} \right)$ $\displaystyle = \frac{( 3 b - a ) ( a + b )}{4}$ 이므로 $\displaystyle f \left( \frac{b - a}{2} \right) -$$\displaystyle f \left( \frac{a - b}{2} \right)$$\displaystyle = \frac{( a + b )}{4} \left( 4 a - 4 b ) \right.$$= ( a + b ) ( a - b )$이다. $0 < a < b$에서 $a + b > 0$, $a - b < 0$이므로 $( a + b ) ( a - b ) < 0$이다. 따라서 $\displaystyle f \left( \frac{b - a}{2} \right) < f \left( \frac{a - b}{2} \right)$이다. (참)