기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이차곡선 작도 보기

문제

다음은 어느 이차곡선을 작도하는 과정이다. [1단계] 정점 P\mathrm{P}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 rr인 원 CC를 그리고, 원 밖의 한 점 Q\mathrm{Q}를 잡는다. [2단계] 동점 R\mathrm{R}은 원 CC 위를 움직인다. [3단계] 두 점 P\mathrm{P}와 R\mathrm{R}를 지나는 직선 ll과 Q‾R\displaystyle \overline{\mathrm{Q}} R의 수직이등분선 mm이 만나는 점을 O\mathrm{O}라 하자.

위 과정에서 점 O\mathrm{O}의 자취가 그리는 이차곡선에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

< 보 기 >
ㄱ. O‾P\displaystyle \overline{\mathrm{O}} P와 O‾Q\displaystyle \overline{\mathrm{O}} Q의 길이의 차는 일정하다. ㄴ. 점 Q\mathrm{Q}는 이차곡선의 초점이다. ㄷ. 작도된 이차곡선을 반사거울로 생각하고, 점 P\mathrm{P}에서 이 곡선 위로 빛을 쏘면 점 Q\mathrm{Q}를 지난다.

①ㄷ②ㄱ, ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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②

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해설

점 O의 자취를 그려보면 다음과 같은 쌍곡선이 된다. 점QQ는 쌍곡선의 초점이며, O‾R\displaystyle \overline{\mathrm{O}} R, O‾Q\displaystyle \overline{\mathrm{O}} Q의 길이는 같다. 따라서 O‾P\displaystyle \overline{\mathrm{O}} P-O‾R\displaystyle \overline{\mathrm{O}} R은 항상 일정하다. 점 PP에서 반대쪽 쌍곡면 점 KK로 빛을 쏘면 접선을 기준으로 입사각과 반사각이 같게 밖으로 빛이 반사해 나간다. 따라서, 옳은 것은 ㉠, ㉡ 이다.

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#쌍곡선#작도#보기

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