이차다항식 나머지 조건

[출제의도] 나머지정리를 이용하여 추론하기 조건 (가)에 의해 $f \left( x \right) - g \left( x \right)$를 $x - 2$로 나눈 몫과 나머지를 $a$라 하면 $f \left( x \right) - g \left( x \right) = \left( x - 2 \right) a + a = a \left( x - 1 \right)$ $x = 1$을 대입하면 $f \left( 1 \right) - g \left( 1 \right) = 0$ $\cdots$ ㉠ 조건 (나)에 의해 $f \left( x \right) g \left( x \right)$를 $x ^{2} - 1$로 나누었을 때의 몫을 $Q \left( x \right)$라 하면 $f \left( x \right) g \left( x \right) = \left( x ^{2} - 1 \right) Q \left( x \right)$ $x = 1$을 대입하면 $f \left( 1 \right) g \left( 1 \right) = 0$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에 의해 $f \left( 1 \right) = g \left( 1 \right) = 0$이다. 인수정리에 의하여 $f \left( x \right)$와 $g \left( x \right)$는 각각 $x - 1$을 인수로 가지므로 $f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x + p \right)$, $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x + q \right)$라 하자. $g \left( 4 \right) = \left( 4 - 1 \right) \left( 4 + q \right) = 3$이므로 $q = \mathit{-} 3$ $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)$ $f \left( x \right) g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x - 3 \right) \left( x + p \right) = \left( x ^{2} - 1 \right) Q \left( x \right)$ $x = \mathit{-} 1$을 대입하면 $\left( - 2 \right) ^{2} \times \left( - 4 \right) \times \left( - 1 + p \right) = 0$에서 $p = 1$ $f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right)$ 따라서 $f \left( 2 \right) + g \left( 2 \right) = 3 + \left( - 1 \right) = 2$