이차부등식의 진리집합 포함관계

방정식 $ax ^{2} - bx + c = 0$가 실근을 가질 때, $a$, $b$, $c$가 모두 양의 실수이므로 실근은 모두 $0$보다 크다. $t$($> 0$)가 방정식 $ax ^{2} - bx + c = 0$의 근일 때, $\displaystyle \frac{1}{t}$는 방정식 $\displaystyle \frac{a}{x ^{2}} - \frac{b}{x} + c = 0$의 근이 된다. 따라서 집합 $P$의 진리집합을 $\left\{ x | \alpha < x < \beta \right\}$라 하면 집합 $Q$의 진리집합은 $\displaystyle \left\{ x \left| \frac{1}{\beta} < x < \frac{1}{\alpha} \right\} \right.$이다. 또한, $( x - 1 ) ^{2} \leq 0$ $\leftrightarrow$ $x = 1$이므로 $R = \left\{ 1 \right\}$이다. ㄱ. $R \subset P$이면 $\alpha < 1 < \beta$이므로 $\displaystyle \frac{1}{\beta} < 1 < \frac{1}{\alpha}$이다. ∴ $R \subset Q$ (참) ㄴ. $P \cap Q = \emptyset$이려면 $P = Q = \emptyset$이거나 $\alpha < \beta < 1$ 또는 $1 < \alpha < \beta$일 때이다. 이때, 어느 경우도 $R \subset P$ 또는 $R \subset Q$를 만족시키지 않는다. (거짓) ㄷ. $P \cap Q \ne \emptyset$인 경우는 $\alpha < 1 < \beta$인 경우이다. $\alpha < 1 < \beta$일 때, $\displaystyle \frac{1}{\beta} < 1 < \frac{1}{\alpha}$이므로 집합 $P$, $Q$ 모두 $1$을 원소로 갖는다. ∴ $R \subset P \cap Q$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.