이차부등식과 최솟값

[출제의도] 판별식과 부등식의 영역을 이용하여 최솟값을 구한다. 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} - 2 ( a - 1 ) x + b - 2 \geq 0$ 이므로 이차방정식 $x ^{2} - 2 ( a - 1 ) x + b - 2 = 0$의 판별식을 $D _{1}$이라 하면 $\displaystyle \frac{D _{1}}{4} = ( a - 1 ) ^{2} - b + 2 \leq 0$ 따라서 점 $( a , b )$는 그림과 같은 좌표평면에서 부등식 $b \geq ( a - 1 ) ^{2} + 2$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 의 영역에 속한다.

$a + b = k$라 하면 $b = \mathit{-} a + k$이므로 기울기가 $- 1$인 직선이 ㉠ 의 영역을 지나면서 $b$절편이 최소일 때 $a + b$의 값이 최소이다. 이는 직선 $b = \mathit{-} a + k$와 이차함수 $b = ( a - 1 ) ^{2} + 2$가 접할 때이므로 연립하면 $( a - 1 ) ^{2} + 2 = \mathit{-} a + k$ $a ^{2} - a + 3 - k = 0$ 이차방정식 $a ^{2} - a + 3 - k = 0$의 판별식을 $D _{2}$라 하면 $D _{2} = 1 - 4 ( 3 - k ) = 0$ $\displaystyle k = \frac{11}{4}$ 따라서 $\displaystyle m = \frac{11}{4}$이므로 $4 m = 11$