이차부등식 정수해 개수

[출제의도] 이차부등식을 이용하여 문제 해결하기 $\beta - \alpha$가 자연수가 되기 위해서는 $\alpha$, $\beta$가 모두 정수이거나 $\alpha$, $\beta$가 각각 정수가 아닌 실수이어야 한다. $\alpha \leq x \leq \beta$인 정수 $x$의 개수가 $3$이 되기 위해서 $\alpha$, $\beta$가 모두 정수인 경우에는 $\beta - \alpha = 2$, $\alpha$, $\beta$가 각각 정수가 아닌 실수인 경우에는 $\beta - \alpha = 3$이어야 한다. (1) $\displaystyle \frac{1}{2} a ^{2} - a > \frac{3}{2} a$인 경우 $a ^{2} - 5 a > 0$이므로 $a < 0$ 또는 $a > 5$이다. 이차부등식 ${\left( 2 x - a ^{2} + 2 a {) {\left( 2 x - 3 a {) \leq 0} \right.}} \right.}$의 해는 $\displaystyle \frac{3}{2} a \leq x \leq \frac{1}{2} a ^{2} - a$이다. (ⅰ) $\alpha$, $\beta$가 모두 정수인 경우 $\displaystyle \beta - \alpha = \left( \frac{1}{2} a ^{2} - a \right) - \frac{3}{2} a = \frac{1}{2} a ^{2} - \frac{5}{2} a = 2$이므로 $a ^{2} - 5 a - 4 = 0$에서 $\displaystyle a = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$이다. $\displaystyle a = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$이면 $\beta$와 $\alpha$가 각각 정수가 아니므로 구하고자 하는 $a$는 없다. (ⅱ) $\alpha$, $\beta$가 각각 정수가 아닌 실수인 경우 $\displaystyle \beta - \alpha = \left( \frac{1}{2} a ^{2} - a \right) - \frac{3}{2} a = \frac{1}{2} a ^{2} - \frac{5}{2} a = 3$이므로 $a ^{2} - 5 a - 6 = 0$에서 $a = \mathit{-} 1$ 또는 $a = 6$이다. $a = \mathit{-} 1$이면 $\beta$와 $\alpha$가 각각 정수가 아닌 실수이다. $a = 6$이면 $\beta$와 $\alpha$가 모두 정수이므로 조건을 만족하지 않는다. 따라서 $a = \mathit{-} 1$이다. (2) $\displaystyle \frac{1}{2} a ^{2} - a < \frac{3}{2} a$인 경우 $a ^{2} - 5 a < 0$이므로 $0 < a < 5$이다. 이차부등식 ${\left( 2 x - a ^{2} + 2 a {) {\left( 2 x - 3 a {) \leq 0} \right.}} \right.}$의 해는 $\displaystyle \frac{1}{2} a ^{2} - a \leq x \leq \frac{3}{2} a$이다. (ⅰ) $\alpha$, $\beta$가 모두 정수인 경우 $\displaystyle \beta - \alpha = \frac{3}{2} a - \left( \frac{1}{2} a ^{2} - a \right) = \mathit{-} \frac{1}{2} a ^{2} + \frac{5}{2} a = 2$ 이므로 $a ^{2} - 5 a + 4 = 0$에서 $a = 1$ 또는 $a = 4$이다. $a = 1$이면 $\beta$와 $\alpha$가 각각 정수가 아니므로 조건을 만족하지 않는다. $a = 4$이면 $\beta$와 $\alpha$가 모두 정수이다. 따라서 $a = 4$이다. (ⅱ) $\alpha$, $\beta$가 각각 정수가 아닌 실수인 경우 $\displaystyle \beta - \alpha = \frac{3}{2} a - \left( \frac{1}{2} a ^{2} - a \right) = \mathit{-} \frac{1}{2} a ^{2} + \frac{5}{2} a = 3$ 이므로 $a ^{2} - 5 a + 6 = 0$에서 $a = 2$ 또는 $a = 3$이다. $a = 2$이면 $\beta$와 $\alpha$가 모두 정수이므로 조건을 만족하지 않는다. $a = 3$이면 $\beta$와 $\alpha$가 각각 정수가 아닌 실수이다. 따라서 $a = 3$이다. 그러므로 (1), (2)에 의해 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 합은 $- 1 + 4 + 3 = 6$이다.