이차방정식 실근 조건

[출제의도] 이차방정식의 판별식을 이용하여 자연수의 개수를 구한다. $( a ^{2} - 9 ) x ^{2} = a + 3$ $( a + 3 ) ( a - 3 ) x ^{2} = a + 3$ $a$는 자연수이므로 $a + 3 > 0$ $( a - 3 ) x ^{2} = 1$ 이차방정식 $( a - 3 ) x ^{2} - 1 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지므로 $D = 0 ^{2} - 4 ( a - 3 ) ( - 1 ) = 4 ( a - 3 ) > 0$ $a - 3 > 0$, $a > 3$ 따라서 $10$보다 작은 자연수 $a$는 $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ 이므로 $a$의 개수는 $6$이다. [다른 풀이] $( a ^{2} - 9 ) x ^{2} = a + 3$ $( a + 3 ) ( a - 3 ) x ^{2} = a + 3$ $a$는 자연수이므로 $a + 3 > 0$ $( a - 3 ) x ^{2} = 1$ $\displaystyle x ^{2} = \frac{1}{a - 3}$ 이차방정식이 두 실근을 가지므로 $\displaystyle \frac{1}{a - 3} > 0$ $a - 3 > 0$이므로 $a > 3$ 따라서 $10$보다 작은 자연수 $a$는 $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ 이므로 $a$의 개수는 $6$이다.