공통수학1이차방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

이차방정식 정수근 증명

문제

다음은 이차방정식 x2+mx+n=0x ^{2} + mx + n = 0 에서 mm, nn 이 정수이고 m2−4nm ^{2} - 4 n 의 값이 어떤 정수의 제곱이면, 주어진 방정식의 근은 모두 (가) 임을 증명한 것이다.

(증명) 정수 kk 에 대하여 m2−4n=k2m ^{2} - 4 n = k ^{2} 으로 놓으면 m2−k2m ^{2} - k ^{2} 은 (나) 이다. 이때 m2−k2m ^{2} - k ^{2}=(m+k)(m−k)( m + k ) ( m - k ) 에서 m+km + k 가 짝수이면 mm 과 kk 는 (다) 이므로 m−km - k 도 짝수이다. 마찬가지로 m−km - k 가 짝수이면 m+km + k 도 짝수이다. 그런데 주어진 방정식의 근은 x=−m±k2\displaystyle x = - \frac{m \pm k}{2} 이므로 두 근은 모두 (가) 이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①정수 홀수 모두 짝수이거나 모두 홀수②홀수 짝수 적어도 하나는 짝수③짝수 홀수 적어도 하나는 짝수④홀수 짝수 모두 짝수이거나 모두 홀수⑤정수 짝수 모두 짝수이거나 모두 홀수

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⑤

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해설

[출제의도] 이차방정식의 근의 성질을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. 정수 kk 에 대하여 m2−4n=k2m ^{2} - 4 n = k ^{2} 으로 놓으면 m2−k2=4nm ^{2} - k ^{2} = 4 n이므로 m2−k2m ^{2} - k ^{2}은 짝수 이다. 이때 m2−k2m ^{2} - k ^{2}=(m+k)(m−k)( m + k ) ( m - k )에서 m+km + k가 짝수이면 mm과 kk는 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로 m−km - k도 짝수이다. 마찬가지로 m−km - k가 짝수이면 m+km + k도 짝수이다. 그런데 주어진 방정식의 근은 x=−m±k2\displaystyle x = - \frac{m \pm k}{2}이므로 두 근은 모두 정수이다.

태그

#정수근#홀짝#증명#빈칸

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