대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이차방정식 두 근의 역수합

문제

자연수 nn에 대하여 xx에 대한 이차방정식 x2+88x−(n+1)(n+3)=0x ^{2} + 88 x - \left( n + 1 \right) \left( n + 3 \right) = 0 의 두 근을 각각 αn\alpha _{n}, βn\beta _{n}이라 할 때, ∑n=19(1αn+1βn)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{9} \left( \frac{1}{\alpha _{n}} + \frac{1}{\beta _{n}} \right)의 값은? [4점] ①2727②2828③2929④3030⑤3131

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③

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해설

이차방정식 x2+88x−(n+1)(n+3)=0x ^{2} + 88 x - \left( n + 1 \right) \left( n + 3 \right) = 0에서 근과 계수의 관계에 의하여 αn+βn=−88\alpha _{n} + \beta _{n} = - 88, αnβn=−(n+1)(n+3)\alpha _{n} \beta _{n} = - \left( n + 1 \right) \left( n + 3 \right) ∴\therefore ∑n=19(1αn+1βn)\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{9} \left( \frac{1}{\alpha _{n}} + \frac{1}{\beta _{n}} \right) =∑n=19αn+βnαnβn\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{9} \frac{\alpha _{n} + \beta _{n}}{\alpha _{n} \beta _{n}} =∑n=1988(n+1)(n+3)\displaystyle = \sum\limits _{n = 1} ^{9} \frac{88}{\left( n + 1 \right) \left( n + 3 \right)} =44∑n=19(1n+1−1n+3)\displaystyle = 44 \sum\limits _{n = 1} ^{9} \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 3} \right) =44{(12−14)+(13−15)+(14−16)+(15−17)\displaystyle = 44 \left\{ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) \right. +⋯+(19−111)+(110−112)}\displaystyle + \cdots + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{12} \right) \} =44(12+13−111−112)\displaystyle = 44 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \right) =22+443−4−113\displaystyle = 22 + \frac{44}{3} - 4 - \frac{11}{3} =29= 29

태그

#근과 계수의 관계#부분분수#시그마

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