공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

이차·삼차 근 대칭식

문제

이차방정식 x2−x+2=0x ^{2} - x + 2 = 0의 두 근이 α,β\alpha , \beta이고, 삼차방정식 x3−3x+5=0x ^{3} - 3 x + 5 = 0의 세 근이 p,q,rp , q , r일 때, (pα+qβ)2+(pβ−qα)2+r2α2+r2β2( p \alpha + q \beta ) ^{2} + ( p \beta - q \alpha ) ^{2} + r ^{2} \alpha ^{2} + r ^{2} \beta ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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−18- 18

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해설

근과 계수와의 관계에서 α+β=1,αβ=2,p+q+r=0,pq+qr+rp=−3,pqr=−5\begin{aligned} & \alpha + \beta = 1 , \alpha \beta = 2 , p + q + r = 0 , pq + qr + rp = - 3 , pqr = - 5 \end{aligned} 준식)=p2α2+2αβpq+q2β2+p2β2+q2α2−2αβpq+r2α2+r2β2=(p2+q2+r2)α2+(p2+q2+r2)β2=(p2+q2+r2)(α2+β2)={(p+q+r)2−2(pq+qr+rp)}{(α+β)2−2αβ}=−18\begin{aligned} \text{준식} ) & = p ^{2} \alpha ^{2} + 2 \alpha \beta pq + q ^{2} \beta ^{2} + p ^{2} \beta ^{2} + q ^{2} \alpha ^{2} - 2 \alpha \beta pq + r ^{2} \alpha ^{2} + r ^{2} \beta ^{2} \\ & = ( p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} ) \alpha ^{2} + ( p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} ) \beta ^{2} \\ & = ( p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} ) ( \alpha ^{2} + \beta ^{2} ) \\ & = \left\{ ( p + q + r ) ^{2} - 2 ( pq + qr + rp ) \right\} \left\{ ( \alpha + \beta ) ^{2} - 2 \alpha \beta \right\} \\ & = - 18 \end{aligned}

태그

#근과 계수의 관계#삼차방정식

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