대수지수함수와 로그함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

이차·로그 조각함수

문제

두 양수 aa, bb에 대하여 x≥0x \geq 0에서 정의된 함수 f(x)f ( x )는 f(x)={a(4−x2)(0≤x<3)blog⁡2x3−5a(x≥3)\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} a \left( 4 - x ^{2} \right) & & \left( 0 \leq x < 3 \right) \\ b \log _{2} \frac{x}{3} - 5 a & & \left( x \geq 3 \right) \end{cases}} 이다. 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프가 xx축과 만나는 두 점을 각각 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}라 하자. AB‾=10\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = 10이고 f(b)=2bf ( b ) = 2 b일 때, 5a+b5 a + b의 값을 구하시오. [4점]

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해설

0≤x<30 \leq x < 3에서 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프가 xx축과 만나는 점의 xx좌표는 방정식 a(4−x2)=0a \left( 4 - x ^{2} \right) = 0의 실근과 같으므로 점 A{\mathrm{A}}의 좌표는 (2,0)( 2 , 0 )이다. AB‾=10\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = 10이므로 점 B{\mathrm{B}}의 좌표는 (12,0)( 12 , 0 )이다. f(12)=0f ( 12 ) = 0이므로 blog⁡2123−5a=0\displaystyle b \log _{2} \frac{12}{3} - 5 a = 0, 2b=5a2 b = 5 a

0≤x<30 \leq x < 3에서 −5a<f(x)≤4a- 5 a < f ( x ) \leq 4 a이고 f(b)=2b=5a>4af ( b ) = 2 b = 5 a > 4 a이므로 b>3b > 3 그러므로 f(b)=blog⁡2b3−5a=2b\displaystyle f \left( b \right) = b \log _{2} \frac{b}{3} - 5 a = 2 b, blog⁡2b3−2b=2b\displaystyle b \log _{2} \frac{b}{3} - 2 b = 2 b, log⁡2b3=4\displaystyle \log _{2} \frac{b}{3} = 4, b=3×24=48b = 3 \times 2 ^{4} = 48, 5a=2b=965 a = 2 b = 96 따라서 5a+b=96+48=1445 a + b = 96 + 48 = 144

태그

#로그함수#조각함수

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