대수등차수열과 등비수열수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

현 길이 등비수열

문제

그림은 길이가 서로 다른 $13$ 개의 현이 길이가 긴 것부터 순서대로 배열된 악기를 나타낸 것이다.

$13$ 개의 현의 길이를 긴 것부터 순서대로 각각 $a _{1}$ , $a _{2}$ , $a _{3}$ , $\cdots$ , $a _{13}$ 이라 하면 $a _{1}$ , $a _{2}$ , $a _{3}$ , $\cdots$ , $a _{13}$ 은 이 순서대로 등비수열을 이룬다. $a _{1} = 2 a _{13}$ 일 때, $\displaystyle a _{n} < \frac{3}{5} a _{1}$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 최솟값은? (단, $\log 2 = 0.30$ , $\log 3 = 0.48$ 로 계산한다.) [4점] ① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$

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⑤

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해설

[출제의도] 등비수열을 활용하여 문제해결하기 첫째항 $a _{1}$ , 공비 $r$ 인 등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 일반항은 $a _{n} = a _{1} r ^{n - 1}$ 이다. $a _{1} = 2 a _{13} = 2 a _{1} r ^{12}$ $\displaystyle \therefore r = \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{1}{12}}$ $\displaystyle a _{1} \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{1}{12} ( n - 1 )} < \frac{3}{5} a _{1}$ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{1}{12} ( n - 1 )} < \frac{3}{5}$ $\displaystyle - \frac{1}{12} \left( n - 1 \right) \log 2 < \log 3 - \left( 1 - \log 2 \right)$ $\displaystyle n > \frac{12 \left( 1 - \log 2 - \log 3 \right)}{\log 2} + 1$ $\therefore n > 9.8$ 따라서 $n$ 의 최솟값은 $10$

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