공통수학1다항식의 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

혈액 속력 관계식

문제

단면의 반지름의 길이가 $R$ 이고 길이가 $l$ 인 원기둥 모양의 혈관이 있다. 단면의 중심에서 혈관의 벽면 방향으로 $r$ 만큼 떨어진 지점에서의 혈액의 속력을 $v$ 라 하면, 다음 관계식이 성립한다고 한다. $\displaystyle v = \frac{P}{4 \eta l} ( R ^{2} - r ^{2} )$ (단, $P$ 는 혈관 양끝의 압력차, $\eta$ 는 혈액의 점도이고 속력의 단위는 $\mathrm{cm} / \text{초}$ , 길이의 단위는 $\mathrm{cm}$ 이다.) $R$ , $l$ , $P$ , $\eta$ 가 모두 일정할 때, 단면의 중심에서 혈관의 벽면 방향으로 $\displaystyle \frac{R}{3}$ , $\displaystyle \frac{R}{2}$ 만큼씩 떨어진 두 지점에서의 혈액의 속력을 각각 $v _{1}$ , $v _{2}$ 라 하자. $\displaystyle \frac{v _{1}}{v _{2}}$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{28}{27}$ ② $\displaystyle \frac{10}{9}$ ③ $\displaystyle \frac{32}{27}$ ④ $\displaystyle \frac{34}{27}$ ⑤ $\displaystyle \frac{4}{3}$

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③

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해설

[출제의도] 다항식의 성질을 이용하여 실생활 문제 해결하기 i) $\displaystyle r = \frac{R}{3}$ 을 주어진 관계식에 대입하면 $\displaystyle \begin{aligned} v _{1} & = \frac{P}{4 \eta l} \times \left( R ^{2} - \left( \frac{R}{3} \right) ^{2} \right) & = \frac{P}{4 \eta l} \times \frac{8}{9} R ^{2} \end{aligned}$ ii) $\displaystyle r = \frac{R}{2}$ 을 주어진 관계식에 대입하면 $\displaystyle \begin{aligned} v _{2} & = \frac{P}{4 \eta l} \times \left( R ^{2} - \left( \frac{R}{2} \right) ^{2} \right) & = \frac{P}{4 \eta l} \times \frac{3}{4} R ^{2} \end{aligned}$ 따라서 i), ii)에 의해 $\displaystyle \frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{32}{27}$ 이다.

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