미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

황금직사각형 둘레 급수

문제

직사각형 중에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형을 잘라내고 남은 직사각형이 처음의 직사각형과 서로 닮음이 되는 것을 황금직사각형이라고 한다. 그림과 같이 긴 변의 길이가 11인 황금직사각형 R1\mathrm{R} _{1}에서 짧은 변을 한 변으로 하는 정사각형 S1\mathrm{S} _{1}을 잘라내고 남은 직사각형을 R2\mathrm{R} _{2}, 직사각형 R2\mathrm{R} _{2}에서 정사각형 S2\mathrm{S} _{2}를 잘라내고 남은 직사각형을 R3\mathrm{R} _{3}이라고 하자. 이와 같은 방법으로 직사각형 R4\mathrm{R} _{4}, R5\mathrm{R} _{5}, R6\mathrm{R} _{6}, ⋯\cdots을 한없이 만들어 간다. 직사각형 Rn(n=1,2,3,⋯ )\mathrm{R} _{\mathit{n}} ( \mathit{n} = 1 , 2 , 3 , \cdots )의 둘레의 길이 lnl _{n}에 대하여 ∑n=1∞ln=kl1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n} = k l _{1}일 때, 상수 kk의 값은? [4점]

①3−52\displaystyle \frac{3 - \sqrt{5}}{2}②3+52\displaystyle \frac{3 + \sqrt{5}}{2}③5−52\displaystyle \frac{5 - \sqrt{5}}{2}④3−5\displaystyle 3 - \sqrt{5}⑤3+5\displaystyle 3 + \sqrt{5}

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②

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해설

R1\mathrm{R} _{1}의 짧은 변의 길이를 xx라 하면 R2\mathrm{R} _{2}의 긴 변과 짧은 변의 길이는 각각 xx, 1−x1 - x이고 R1\mathrm{R} _{1}과 R2\mathrm{R} _{2}가 닮음이므로 x:1=(1−x):xx : 1 = ( 1 - x ) : x x2+x−1=0x ^{2} + x - 1 = 0에서 x=−1+52(∵x>0)\displaystyle x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} ( \because x > 0 ) 또 Rn\mathrm{R} _{\mathit{n}}과 Rn+1\mathrm{R} _{\mathit{n} + 1}사이에 1:−1+52\displaystyle 1 : \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}의 닮음비가 성립하므로 ln+1=−1+52ln\displaystyle l _{n + 1} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} l _{n} ∑n=1∞ln\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n}=l11−−1+52\displaystyle = \frac{l _{1}}{1 - \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}}=3+52l1\displaystyle = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} l _{1} 이므로 k=3+52\displaystyle k = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}이다.

태그

#등비급수#닮음#황금비

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