황금분할 증명

다음은 직사각형 $\mathrm{ABCD}$ 에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 와 $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$ 위의 점 $\mathrm{Q}$ 를 $\mathrm{\triangle} ABP$, $\mathrm{\triangle} BCQ$, $\mathrm{\triangle} DPQ$ 의 넓이가 같도록 정할 때, 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$ 를 각각 황금분할하는 점임을 증명한 것이다.

이 식을 정리하면 $x ( z + w ) = w ( x + y )$ … ㉠ $x ( z + w ) =$ (가) … ㉡ ㉠ 의 식을 전개하면

	$xz + xw = wx + wy$ $\therefore xz = wy$ $\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{z}{w} = k$ 라 하면 $y = kx , z = kw$ 이고 이것을 ㉡ 에 대입하면 $x ( kw + w ) = kxkw$ 이다. $x , y , z , w$ 는 $0$이 아니므로 (나) 이다. $k > 0$ 이므로 $k =$ (다)

$\therefore x : y = w : z$$= 1 :$ (다)

즉, 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$ 를 각각 황금분할하는 점이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$yz$ $k ^{2} - k - 1 = 0$ $\displaystyle \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$②$yz$ $k ^{2} - k - 2 = 0$ $2$③$yz$ $k ^{2} + k - 1 = 0$ $\displaystyle \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$④$zw$ $k ^{2} - k - 1 = 0$ $\displaystyle \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$⑤$zw$ $k ^{2} + k - 1 = 0$ $\displaystyle \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$