화면 사진 확률 점화식

컴퓨터의 화면 보호기에 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ 네 개의 사진이 매초마다 다른 사진으로 바뀌면서 임의로 하나씩 나타나도록 하였다. 한 사진에서 다른 사진으로 바뀔 확률은 모두 같다고 하고, 자연수 $n$에 대하여 $\mathrm{A}$사진이 나온 다음 $n$초가 지난 후에 $\mathrm{B}$사진이 나올 확률을 $p _{n}$이라 하자. 다음은 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} p _{n} = \frac{1}{4}$임을 증명하는 과정이다. [증명] $\mathrm{A}$사진이 나온 다음 $n$초가 지난 후에 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$사진이 나올 확률이 같으므로 $\mathrm{A}$사진이 나온 다음 $n$초가 지난 후에 다시 $\mathrm{A}$사진이 나올 확률은 (가)

이다. 따라서 $\mathrm{A}$사진이 나온 다음 $n + 1$초가 지난 후에 $\mathrm{B}$사진이 나올 확률 $p _{n + 1}$은 $p _{n + 1} =$$\displaystyle \frac{1}{3} \left( {}_{} ^{} 2 p _{n} + \right.$ (가)

$)$ $=$ (나)

$\displaystyle + \frac{1}{3}$ 따라서 수열 $\displaystyle \left\{ p _{n} - \frac{1}{4} \right\}$은 첫째항이 (다)

이고 공비가 $\displaystyle - \frac{1}{3}$인 등비수열을 이룬다. ∴ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} p _{n} = \frac{1}{4}$

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [4점]