확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

확률밀도함수의 대칭성

문제

−2≤X≤4- 2 \leq X \leq 4의 모든 값을 취하는 확률변수 XX의 확률밀도함수 f(x)f ( x )는 다음을 만족시킨다. f(1−x)=f(1+x)f ( 1 - x ) = f ( 1 + x ) P(1≤X≤3)=2P(3≤X≤4){\mathrm{P}} ( 1 \leq X \leq 3 ) = 2 {\mathrm{P}} ( 3 \leq X \leq 4 )이고 P(0≤X≤1)=14\displaystyle {\mathrm{P}} ( 0 \leq X \leq 1 ) = \frac{1}{4}일 때, P(0≤X≤3){\mathrm{P}} ( 0 \leq X \leq 3 )의 값은? ①512\displaystyle \frac{5}{12}②12\displaystyle \frac{1}{2}③712\displaystyle \frac{7}{12}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤34\displaystyle \frac{3}{4}

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③

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해설

조건에서 f(1−x)=f(1+x)f ( 1 - x ) = f ( 1 + x )이므로 확률변수 XX의 확률밀도함수 f(x)f ( x )는 x=1x = 1에 대하여 대칭이고, −2≤X≤4- 2 \leq X \leq 4이므로 확률밀도함수의 성질에 의해 P(−2≤X≤1)=P(1≤X≤4)=12\displaystyle {\mathrm{P}} ( - 2 \leq X \leq 1 ) = {\mathrm{P}} ( 1 \leq X \leq 4 ) = \frac{1}{2} 그러므로 조건 P(1≤X≤3)=2P(3≤X≤4)\mathrm{P} \mathit{(} 1 \leq X \leq 3 ) = \mathrm{2} P \mathit{(} 3 \leq X \leq 4 )에 의해 P(1≤X≤3)=13\displaystyle {\mathrm{P}} ( 1 \leq X \leq 3 ) = \frac{1}{3} P(0≤X≤3)=P(0≤X≤1)+P(1≤X≤3){\mathrm{P}} ( 0 \leq X \leq 3 ) = {\mathrm{P}} ( 0 \leq X \leq 1 ) + {\mathrm{P}} ( 1 \leq X \leq 3 ) =14+13\displaystyle = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} =712\displaystyle = \frac{7}{12}

태그

#확률밀도함수#대칭성

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