확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

확률밀도함수 등차 조건

문제

연속확률변수 $X$ 가 갖는 값의 범위는 $0 \leq X \leq 2$ 이고 확률밀도함수의 그래프는 다음과 같다.

두 양수 $a , b$ 에 대하여 $p _{1} = \mathrm{P} ( 0 \leq X \leq a ) , p _{2} = \mathrm{P} ( a < X \leq b ) , p _{3} = \mathrm{P} ( b < X \leq 2 )$ 이다. 세 확률 $p _{1} , p _{2} , p _{3}$ 이 이 순서로 등차수열을 이루고 $\displaystyle a + b = \frac{4}{3}$ 일 때, $b$ 의 값은? (단, $a < b$ 이다.) [4점] ① $\displaystyle \frac{11}{12}$ ② $1$ ③ $\displaystyle \frac{13}{12}$ ④ $\displaystyle \frac{7}{6}$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{4}$

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④

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해설

확률의 총합이 1이므로 $p _{1} + p _{2} + p _{3} = 1$ …… ㉠ $p _{1} , p _{2} , p _{3}$ 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $p _{1} + p _{3} = 2 p _{2}$ …… ㉡㉠, ㉡에서 $\displaystyle p _{2} = \frac{1}{3}$ $\displaystyle p _{2} = \mathrm{P} ( a < x \leq b ) = \frac{1}{4} ( b ^{2} - a ^{2} ) = \frac{1}{3}$ 이고 $\displaystyle a + b = \frac{4}{3}$ 이므로 $b - a = 1$ $\displaystyle \therefore b = \frac{7}{6}$

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