홍길주 제곱근 계산법

다음은 $19$세기 초 조선의 유학자 홍길주가 소개한 제곱근을 구하는 계산법의 일부를 재구성한 것이다.

$1$보다 큰 자연수 $p$에서 $1$을 뺀 수를 $p _{1}$이라 한다. $p _{1}$이 $2$보다 크면 $p _{1}$에서 $2$를 뺀 수를 $p _{2}$라 한다. $p _{2}$가 $3$보다 크면 $p _{2}$에서 $3$을 뺀 수를 $p _{3}$이라 한다. $\vdots$ $p _{k-1}$이 $k$보다 크면 $p _{k-1}$에서 $k$를 뺀 수를 $p _{k}$라 한다. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 수 $p _{n}$이 $( n + 1 )$보다 작으면 이 과정을 멈춘다. 이때, $2 p _{n}$이 $( n + 1 )$과 같으면 $p$는 (가) 이다.

(가)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [4점] ①$n + 1$②$\displaystyle \frac{( n + 1 ) ^{2}}{2}$③$\displaystyle \left\{ \frac{n ( n + 1 )}{2} \right\} ^{2}$④$2 ^{n+1}$⑤$( n + 1 ) !$