미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

홀수항 등비급수

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 a1=3a _{1} = 3, an+1=23an\displaystyle a _{n + 1} = \frac{2}{3} a _{n} 을 만족시킬 때, ∑n=1∞a2n−1=qp\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{2 n - 1} = \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 등비급수의 성질을 이해하여 등비급수의 합을 구한다. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=3a _{1} = 3이고, 모든 자연수 nn에 대하여 an+1=23an\displaystyle a _{n + 1} = \frac{2}{3} a _{n}이므로 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 33이고 공비가 23\displaystyle \frac{2}{3}인 등비수열이다. 따라서 an=3×(23)n−1\displaystyle a _{n} = 3 \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{n - 1} a2n−1a _{2 n - 1}=3×(23)(2n−1)−1\displaystyle = 3 \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{( 2 n - 1 ) - 1}=3×(23)2(n−1)\displaystyle = 3 \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{2 ( n - 1 )}=3×(49)n−1\displaystyle = 3 \times \left( \frac{4}{9} \right) ^{n - 1} ∑n=1∞a2n−1\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{2 n - 1}=31−49\displaystyle = \frac{3}{1 - \frac{4}{9}}=275\displaystyle = \frac{27}{5} 따라서 p+q=5+27=32p + q = 5 + 27 = 32

태그

#등비급수#점화식

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