미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

홀수 항 급수를 S로 나타내기

문제

무한급수 S=1+14+19+116+⋯+1n2+⋯\displaystyle S = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{n ^{2}} + \cdots이 수렴할 때, 1+19+125+149+⋯+1(2n−1)2+⋯\displaystyle 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \frac{1}{49} + \cdots + \frac{1}{( 2 n - 1 ) ^{2}} + \cdots과 같은 것은?

①12S\displaystyle \frac{1}{2} S②34S\displaystyle \frac{3}{4} S③S−14\displaystyle S - \frac{1}{4}④S−13\displaystyle S - \frac{1}{3}⑤S−12\displaystyle S - \frac{1}{2}

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②

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해설

S=lim⁡n→∞∑k=1n1k2\displaystyle S = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} {\frac{1}{k ^{2}}}}=lim⁡n→∞∑k=1n{1(2k−1)2+1(2k)2}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} {\left\{ \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{2}} + \frac{1}{( 2 k ) ^{2}} \right\}}} 그러므로 lim⁡n→∞∑k=1n1(2k−1)2=S−lim⁡n→∞∑k=1n1(2k)2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} {\frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{2}}} = S - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} {\frac{1}{( 2 k ) ^{2}}}}} =S−lim⁡n→∞14∑k=1n1(k)2\displaystyle = S - \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{4} \sum\limits _{k = 1} ^{n} {\frac{1}{( k ) ^{2}}}} =S−14S=34S\displaystyle = S - \frac{1}{4} S = \frac{3}{4} S

태그

#무한급수#항의 분리

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