대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

홀수 두 번씩 수열 보기

문제

다음과 같이 홀수를 작은 것부터 차례로 두 번씩 나열한 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 첫째항부터 제nn항까지의 합을 SnS _{n}이라 하자. 1,1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,⋯1 , 1 , 3 , 3 , 5 , 5 , 7 , 7 , 9 , 9 , 11 , 11 , \cdots <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

< 보 기 >
ㄱ. a100=99a _{100} = 99 ㄴ. S99=5000S _{99} = 5000 ㄷ. 11보다 큰 홀수 kk에 대하여 Sk+1−Sk−1=S _{k + 1} - S _{k - 1} =2k2 k이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

정답 보기
③

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. 주어진 수열에서 a2n=2n−1a _{2n} = 2 n - 1 a100=99a _{100} = 99 ∴\therefore참 ㄴ. S2n−1=2×{1+3+⋯+(2n−1)}−(2n−1)S _{2n-1} = 2 \times \left\{ 1 + 3 + \cdots + ( 2 n - 1 ) \right\} - ( 2 n - 1 ) =2n2−2n+1= 2 n ^{2} - 2 n + 1 따라서 S99=2⋅502−2⋅50+1=4901S _{99} = 2 \cdot 50 ^{2} - 2 \cdot 50 + 1 = 4901이다. ∴\therefore거짓 ㄷ. 11보다 큰 홀수 kk에 대하여 k+1,k−1k + 1 , k - 1이 모두 짝수이고 S2n=2n2S _{2 n} = 2 n ^{2}이다. 따라서 Sk+1=S _{k+1} =2(k+12)2\displaystyle 2 \left( \frac{k + 1}{2} \right) ^{2}이고 Sk−1=S _{k-1} =2(k−12)2\displaystyle 2 \left( \frac{k - 1}{2} \right) ^{2}이므로 Sk+1−Sk−1=2(k+12)2−2(k−12)2\displaystyle S _{k+1} - S _{k-1} = 2 \left( \frac{k + 1}{2} \right) ^{2} - 2 \left( \frac{k - 1}{2} \right) ^{2}=2k= 2 k이다. ∴\therefore참

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