대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

홀수 배열과 수열

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 항 a1a _{1}, a2a _{2}, a3a _{3}, ⋯\cdots과 홀수들을 그림과 같이 나열하였다. a1a _{1}은 a1a _{1}을 둘러싸고 있는 세 수의 합 1+3+51 + 3 + 5이고, a2a _{2}는 a2a _{2}를 둘러싸고 있는 세 수의 합 3+7+93 + 7 + 9이다. 이와 같이 ana _{n}은 ana _{n}을 둘러싸고 있는 세 수의 합일 때, a100a _{100}의 값을 구하시오. [4점]

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655

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해설

[출제의도] 도형으로 정의된 수열의 규칙성을 파악하여 항의 수 추론하기 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 제22행부터 시작되므로 제kk행에 있는 항의 개수는 (k−1)( k - 1 )개이다. 따라서, 제kk행까지의 항의 개수는 1+2+3+⋯+(k−1)=(k−1)k2\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + ( k - 1 ) = \frac{( k - 1 ) k}{2}이고, (k−1)k2<100\displaystyle \frac{( k - 1 ) k}{2} < 100인 최대의 kk는 1414이므로 제1414행까지의 항의 개수는 9191개이다. 그러므로 a100a _{100}은 1515행 99번째 항이다. ∴a100=\therefore a _{100} =(1414행의 99번째 수)++(1515행의 99번째 수)++(1515행의 1010번째 수)이다. 각 행의 첫 번째 수를 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}이라 하면 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 계차수열은 첫째항이 22이고 공차가 22인 등차수열이다. ∴bn=1+∑k=1n−12k=n2−n+1\displaystyle \therefore b _{n} = 1 + \sum\limits _{k=1} ^{n-1} 2 k = n ^{2} - n + 1 (1414행의 99번째 수)=142−14+1+8⋅2= 14 ^{2} - 14 + 1 + 8 \cdot 2=199= 199 (1515행의 99번째 수)=152−15+1+8⋅2= 15 ^{2} - 15 + 1 + 8 \cdot 2=227= 227 (1515행의 1010번째 수)=227+2=229= 227 + 2 = 229 ∴a100=199+227+229\therefore a _{100} = 199 + 227 + 229 =655= 655

태그

#규칙 찾기#수열

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