홀수 5제곱 합 나머지

$1 ^{5} + 3 ^{5} + 5 ^{5} + \cdots + 19 ^{5}$$= ( 1 ^{5} + 3 ^{5} + 7 ^{5} + 9 ^{5} ) + ( 11 ^{5} + 13 ^{5} + 17 ^{5} + 19 ^{5} ) + ( 5 ^{5} + 15 ^{5} )$ 따라서 $1 ^{5} + 3 ^{5} + 5 ^{5} + \cdots + 19 ^{5}$을 $5$로 나눈 나머지는 $2 ( 1 ^{5} + 2 ^{5} + 3 ^{5} + 4 ^{5} )$을 $5$로 나눈 나머지와 같다. $1 ^{5} = 1 , 2 ^{5} = 32 , 3 ^{5} = 243 , 4 ^{5} = 1024$ $2 ( 1 ^{5} + 2 ^{5} + 3 ^{5} + 4 ^{5} )$을 $5$로 나눈 나머지는 $0$이므로 $1 ^{5} + 3 ^{5} + 5 ^{5} + \cdots + 19 ^{5}$을 $5$로 나눈 나머지도 $0$이다.