홀짝 점화식

(Ⅰ) $a _{2}$가 홀수인 경우 조건 (나)에 의하여 $\displaystyle a _{3} = \frac{a _{2} + 3}{2} \geq a _{2}$이므로 $a _{2} \leq 3$ (Ⅰ-①) $a _{2} = 1$인 경우 $a _{3} = 2$, $a _{4} = 3$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (Ⅰ- ②) $a _{2} = 3$인 경우 $a _{3} = 3$, $a _{4} = 3$, $a _{5} = 3$, $\cdots$ $a _{1} = 3$ 또는 $a _{1} = 2$ (Ⅱ) $a _{2}$가 짝수인 경우 (Ⅱ- ①) $a _{2} = 4 k$ ($k$는 자연수)인 경우 $a _{3} = 6 k$, $a _{4} = 9 k$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (Ⅱ- ②) $a _{2} = 4 k - 2$ ($k$는 자연수)인 경우 $a _{3} = 6 k - 3$, $a _{4} = 3 k$ (ⅰ) $k$가 홀수인 경우 $\displaystyle a _{5} = \frac{3 k + 3}{2}$, $\displaystyle a _{4} + a _{5} = \frac{9 k + 3}{2} \leq 24$ $k \leq 5$이므로 $k = 1$, $3$, $5$ ⓐ $k = 1$인 경우 $a _{2} = 2$, $a _{3} = 3$, $a _{4} = 3$, $a _{5} = 3$, $\cdots$ $a _{1} = 1$ 또는 $\displaystyle a _{1} = \frac{4}{3}$ 조건에 의하여 $a _{1} = 1$ ⓑ $k = 3$인 경우 $a _{2} = 10$, $a _{3} = 15$ $a _{1} = 17$ 또는 $\displaystyle a _{1} = \frac{20}{3}$ 조건을 만족시키지 않는다. ⓒ $k = 5$인 경우 $a _{2} = 18$, $a _{3} = 27$, $a _{4} = 15$, $a _{5} = 9$, $a _{6} = 6$, $a _{7} = 9$, $a _{8} = 6$, $\cdots$ $a _{1} = 33$ 또는 $a _{1} = 12$ 조건 (나)에 의하여 $a _{1} = 12$ (ⅱ) $k$가 짝수인 경우 $\displaystyle a _{5} = \frac{9}{2} k$, $\displaystyle a _{4} + a _{5} = \frac{15}{2} k \leq 24$ $\displaystyle k \leq \frac{16}{5}$이므로 $k = 2$ $a _{2} = 6$, $a _{3} = 9$, $a _{4} = 6$, $a _{5} = 9$, $\cdots$ $a _{1} = 9$ 또는 $a _{1} = 4$ (Ⅰ), (Ⅱ)에 의하여 $a _{1}$의 값은 $1$, $2$, $3$, $4$, $9$, $12$이고 그 합은 $31$ [참고] 조건을 만족시키는 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 다음과 같다.