홀짝 귀납적 수열

$\displaystyle a _{n + 1} = {\begin{cases} - a _{n} + 1 + k & & \left( \left| a _{n} \right| \text{이} \text{홀수인} \text{경우} \right) \\ \frac{1}{2} a _{n} + k & & \left( a _{n} = 0 \text{또는} \left| a _{n} \right| \text{이} \text{짝수인} \text{경우} \right) \end{cases}}$ 에서 $a _{3} = 2$이므로 $a _{4} = 1 + k$ 이때 $\left| a _{2} \times a _{4} \right| = 8$에서 $\left| a _{2} \times \left( 1 + k \right) \right| = 8$ (ⅰ) $\left| a _{2} \right|$이 홀수인 경우 $a _{3} = - a _{2} + 1 + k$, $2 = - a _{2} + 1 + k$, $a _{2} = k - 1$ 이므로 $\left| a _{2} \times \left( 1 + k \right) \right| = 8$, $\left| \left( k - 1 \right) \left( 1 + k \right) \right| = 8$ (a) $k ^{2} - 1 = 8$일 때 $k = 3$ 또는 $k = - 3$이므로 $\left| a _{2} \right|$가 홀수인 조건을 만족시키지 않는다. (b) $k ^{2} - 1 = - 8$일 때 $k ^{2} = - 7$이므로 이를 만족하는 정수 $k$의 값은 존재하지 않는다. (ⅱ) $a _{2} = 0$ 또는 $\left| a _{2} \right|$이 짝수인 경우 $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{2} a _{2} + k$, $\displaystyle 2 = \frac{1}{2} a _{2} + k$, $a _{2} = \left( 2 - k \right) \times 2$ 이므로 $\left| a _{2} \times \left( 1 + k \right) \right| = 8$, $\left| 2 \left( 2 - k \right) \left( 1 + k \right) \right| = 8$, $\left| \left( k + 1 \right) \left( k - 2 \right) \right| = 4$ (a) $\left( k + 1 \right) \left( k - 2 \right) = 4$일 때 $k ^{2} - k - 6 = 0$, $\left( k - 3 \right) \left( k + 2 \right) = 0$ $\therefore$$k = - 2$ 또는 $k = 3$ $k = - 2$이면 $a _{2} = 8$이고 $\displaystyle a _{2} = {\begin{cases} - a _{1} - 1 & & \left( \left| a _{1} \right| \text{이} \text{홀수인} \text{경우} \right) \\ \frac{1}{2} a _{1} - 2 & & \left( \begin{array}{l} \begin{aligned} a _{1} = 0 \text{또는} \\ \left| a _{1} \right| \text{이} \text{짝수인} \text{경우} \end{aligned} \end{array} \right) \end{cases}}$에서 $a _{1} = - 9$ 또는 $a _{1} = 20$ $k = 3$이면 $a _{2} = - 2$이고 $\displaystyle a _{2} = {\begin{cases} - a _{1} + 4 & & \left( \left| a _{1} \right| \text{이} \text{홀수인} \text{경우} \right) \\ \frac{1}{2} a _{1} + 3 & & \left( \begin{array}{l} \begin{aligned} a _{1} = 0 \text{또는} \\ \left| a _{1} \right| \text{이} \text{짝수인} \text{경우} \end{aligned} \end{array} \right) \end{cases}}$에서 $a _{1} = - 10$ (b) $\left( k + 1 \right) \left( k - 2 \right) = - 4$일 때 $k ^{2} - k + 2 = 0$ 위 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면 $D = 1 - 8 < 0$ 이므로 실근이 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 모든 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항은 $- 10$, $- 9$, $20$이므로 그 합은 $1$이다.