미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전한 삼차함수 그래프

문제

함수 y=x3+axy = {x} ^{3} + ax의 그래프를 원점을 중심으로 양의 방향으로 45∘45 ^\circ회전시켜서 얻은 곡선이 실수 전체에서 정의된 어떤 함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프가 되는 aa의 범위는? [2점] ①a≥1a \geq 1②a≥0a \geq 0③a≤1a \leq 1④a≤−1a \leq - 1⑤0≤a≤20 \leq a \leq 2

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①

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해설

삼차함수 y=x3+axy = x ^{3} + ax의 그래프가 원점을 중심으로 45∘45 ^\circ이동하여 실수 전체에서 정의된 어떤 함수가 되려면, 아래의 [그림1]과 같이 y=xy = x 그래프의 위아래로 교차하면 안 된다. 즉 [그림2]와 같이 y=xy = x의 그래프가 x=0x = 0에서 주어진 삼차함수 y=x3+axy = x ^{3} + ax의 접선이거나, x=0x = 0을 기준으로 양의 방향으로는 주어진 삼차함수의 그래프가 위에 있고, 음의 방향으로는 주어진 삼차함수의 그래프가 아래에 있으면 된다. 따라서, f′(x)=3x2+af' ( x ) = 3 x ^{2} + a에서 f′(0)=a≥1f' ( 0 ) = a \geq 1이다.

[그림1]

[그림2]

태그

#삼차함수#증가함수#회전

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