대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

회전한 접선 삼각형 넓이

문제

그림과 같이 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1 위의 점 P1\mathrm{P} _{1}에서의 접선이 xx축과 만나는 점을 Q1\mathrm{Q} _{1}이라 할 때, 삼각형P1OQ1\mathrm{P} _{1} \mathrm{O} Q _{1}의 넓이는 14\displaystyle \frac{1}{4}이다. 점 P1\mathrm{P} _{1}을 원점 O\mathrm{O}를 중심으로 π4\displaystyle \frac{\pi}{4}만큼 회전시킨 점을 P2\mathrm{P} _{2}라 하고, 점 P2\mathrm{P} _{2}에서의 접선이 xx축과 만나는 점을 Q2\mathrm{Q} _{2}라 하자. 삼각형 P2OQ2\mathrm{P} _{2} \mathrm{O} Q _{2}의 넓이는? (단, 점 P1\mathrm{P} _{1}은 제 11사분면 위의 점이다.) [3점]

①11②54\displaystyle \frac{5}{4}③32\displaystyle \frac{3}{2}④74\displaystyle \frac{7}{4}⑤22

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③

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해설

P1\mathrm{P} _{1}과 xx축과 이루는 각을 θ\theta라 하면 P1(cos⁡θ,sin⁡θ)\mathrm{P} _{1} ( \cos \theta , \sin \theta )으로 들 수 있고 접선은 xcos⁡θ+ysin⁡θ=1x \cos \theta + y \sin \theta = 1이 된다. Q1(1cos⁡θ,0)\displaystyle \mathrm{Q} _{1} \left( \frac{1}{\cos \theta} , 0 \right)이고 삼각형 P1OQ1\mathrm{P} _{1} \mathrm{O} Q _{1}의 넓이는 12tan⁡θ\displaystyle \frac{1}{2} \tan \theta가 된다. 넓이가 14\displaystyle \frac{1}{4}이므로 tan⁡θ=12\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{2}이다. ∴△OP2Q=12⋅tan⁡(θ+π4)\displaystyle \therefore \triangle \mathrm{O} P _{2} \mathrm{Q} = \frac{1}{2} \cdot \tan \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)=12⋅tan⁡θ+tan⁡π41−tan⁡θ⋅tan⁡π4=32\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan \theta + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan \theta \cdot \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{3}{2}

태그

#탄젠트 덧셈정리#원의 접선

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